Функции. Основные виды, графики, способы задания
Как найти и область определения и область значений функции (продвинутый вариант)
Справился? Сверим ответы:
- , так как подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю.
- , так как на ноль делить нельзя и подкоренное выражение не может быть отрицательным.
- , так как , соответственно при всех .
- , так как на ноль делить нельзя.
| Функцией называется правило , по которому каждому элементу множества ставится в соответствие единственный элемент множества . |
Заметил? Слово «единственный» – это очень-очень важный элемент нашего определения. Постараюсь объяснить тебе на пальцах.
https://www.youtube.com/watch?v=ytpressen-GB
Допустим, у нас есть функция, заданная прямой. . При , мы подставляем данное значение в наше «правило» и получаем, что . Одному значению соответствует одно значение . Мы даже можем составить таблицу различных значений и построить график данной функции, чтобы убедится в этом.
Как ты убедился – графиком является прямая, в которой одному значению соответствует одно значение (данный факт показан красными линиями).
Соответственно, данная зависимость подходит под определение функции.
«Смотри! – скажешь ты, -« » встречается два раза!» Так быть может парабола не является функцией? Нет, является!
То, что « » встречается два раза далеко не повод обвинять параболу в неоднозначности!
Разобрался? Если нет, вот тебе жизненный пример сооовсем далекий от математики!
Согласись, вполне реально, что несколько ребят живут в одном городе, но невозможно, чтобы один человек жил в нескольких городах одновременно. Это как бы логичное представление нашей «параболы» – нескольким разным икс соответствует один и тот же игрек.
Здесь у нас совершенно другая ситуация: один человек может спокойно подать документы как на одно, так и на несколько направлений. То есть одному элементу множества ставится в соответствие несколько элементов множества . Соответственно, это не функция.
Проверим твои знания на практике.
Разобрался? А вот и ответы:
- Функцией является – В,Е.
- Функцией не является – А, Б, Г, Д.
На всех рисунках кроме В) и Е) на один приходится несколько !
https://www.youtube.com/watch?v=ytcopyrighten-GB
Уверена, теперь, ты с легкостью отличишь функцию от не функции, скажешь, что такое аргумент и что такое зависимая переменная, а так же определишь область допустимых значений аргумента и область определения функции. Приступаем к следующему разделу – как задать функцию?
Способы задания функции
Как ты думаешь, что означают слова «задать функцию»? Правильно, это значит объяснить всем желающим, о какой функции в данном случае идет речь. Причем объяснить так, чтобы каждый понял тебя правильно и нарисованные людьми по твоему объяснению графики функций были одинаковы.
Как это можно сделать? Как задать функцию? Самый простой способ, который уже не раз применялся в этой статье – с помощью формулы. Мы пишем формулу, и, подставляя в нее значение , высчитываем значение . А как ты помнишь, формула – это закон, правило, по которому нам и другому человеку становится ясно, как икс превращается в игрек.
Обычно, именно так и делают – в заданиях мы видим уже готовые функции, заданные формулами, однако, существуют и другие способы задать функцию, про которые все забывают, в связи с чем вопрос «как еще можно задать функцию?» ставит в тупик. Разберемся во всем по порядку, а начнем с аналитического способа.
Аналитический способ это и есть задание функции с помощью формулы. Это самый универсальный и исчерпывающий и однозначный способ. Если у тебя есть формула, то ты знаешь о функции абсолютно все – ты можешь составить по ней табличку значений, можешь построить график, определить, где функция возрастает, а где убывает, в общем, исследовать ее по полной программе.
Рассмотрим функцию . Чему равно ?
«Что это значит?» – спросишь ты. Сейчас объясню.
Напомню, что в записи выражение в скобках называется аргументом. И этот аргумент может быть любым выражением, не обязательно просто . Соответственно, каким бы ни был аргумент (выражение в скобках), мы его запишем вместо в выражении .
Найдите значение выражения , при .
Уверена, что сначала, ты испугался, увидев такое выражение, но в нем нет абсолютно ничего страшного!
Все как и в прошлом примере: каким бы ни был аргумент (выражение в скобках), мы его запишем вместо в выражении . Например, для функции .
Вот и все!
Самостоятельная работа
Теперь попробуй самостоятельно найти значение следующих выражений:
- , если
- , если
Справился? Сравним наши ответы: Мы привыкли, что функция имеет вид
https://www.youtube.com/watch?v=ytadvertiseen-GB
, даже в наших примерах мы задаем функцию именно таким образом, однако аналитически можно задать функцию в неявном виде, например .
Попробуй построить эту функцию самостоятельно.
Справился?
Вот как строила ее я.
Какое уравнение мы в итоге вывели?
Вот так из неявной формулы получилась линейная функция.
А теперь посмотри следующую формулу: .
Является ли она функцией? Согласись, вызывает затруднение…
Попробуй подставить различные значения и посмотреть, какой им соответствует.
Вот как раз то, о чем мы говорили… Одному соответствует несколько .
Является ли то, что у нас получилось функцией?
Правильно, нет! Почему? Попробуй ответить на этот вопрос с помощью рисунка. Что у тебя вышло?
«Потому что одному значению соответствует несколько значений !»
Какой вывод мы можем из этого сделать?
Правильно, функция не всегда может быть выражена явно, и не всегда то, что «замаскировано» под функцию является функцией!
Как ты уже знаешь, в первой строчке мы ставим значение аргумента, а во второй строчке – соответствующие ему значение функции. Таким образом, в таблице каждому иксу соответствует одно значение игрека.
Заметь, в последней приведенной табличке невозможно четко определить правило, по которому игрек зависит от икс. Так тоже бывает и в этом нет ничего страшного, просто мы не можем вот так сразу взять и определить правило.
Здесь ты сразу подметил закономерность – игрек в три раза больше чем икс. А теперь задание на «очень хорошо подумать»: как ты считаешь, равносильная ли функция, заданная в виде таблицы, функции ?
Не будем долго рассуждать, а будем рисовать!
Теперь увидел? Когда мы задаем функцию табличным способом, мы на графике отражаем только те точки, которые есть у нас в таблице и линия (как в нашем случае) проходит только через них. Когда мы задаем функцию аналитическим способом, мы можем взять любые точки, и наша функция ими не ограничивается. Вот такая вот особенность. Запоминай!
Графический способ построения функции не менее удобен. Мы рисуем нашу функцию, а другой заинтересованный человек может найти чему равен игрек при определенном икс и так далее. Графический и аналитический способы одни из самых распространенных.
| Функцией называется правило , по которому каждому элементу множества ставится в соответствие единственный элемент множества . |
Как правило, люди обычно называют именно те три способа задания функции, которые мы разобрали – аналитический (с помощью формулы), табличный и графический, напрочь забывая о том, что функцию можно словесно описать. Как это? Да очень просто!
Пусть
КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Теперь перейдем к самому интересному – рассмотрим основные виды функций, с которыми ты работал/работаешь и будешь работать в курсе школьной и институтской математики, то есть познакомимся с ними, так сказать и дадим им краткую характеристику. Более подробно про каждую функцию читай в соответствующем разделе.
Линейная функция
Функция вида , где , – действительные числа.
Графиком данной функции служит прямая, поэтому построение линейной функции сводится к нахождению координат двух точек.
Положение прямой на координатной плоскости зависит от углового коэффициента .
Область определения функции (aka область допустимых значений аргумента) – .
Область значений – .
Функция вида , где
Графиком функции является парабола, при ветви параболы направлены вниз, при — вверх.
Многие свойства квадратичной функции зависят от значения дискриминанта. Дискриминант вычисляется по формуле
https://www.youtube.com/watch?v=upload
Область определения
Область значений зависит от экстремума данной функции (точки вершины параболы) и коэффициента (направления ветвей параболы)
Функция, задаваемая формулой , где
Область определения – .
1. Функцией называется правило , по которому каждому элементу множества ставится в соответствие единственный элемент множества .
- – это формула, обозначающая функцию, то есть зависимость одной переменной от другой;
- – переменная величина, или, аргумент;
- – зависимая величина – изменяется при изменении аргумента, то есть согласно какой-либо определенной формуле , отражающей зависимость одной величины от другой.
2. Допустимые значения аргумента, или область определения функции – это то, что связано с возможными , при которых функция имеет смысл.
3. Область значений функции – это то, какие значения принимает , при допустимых значениях .
https://www.youtube.com/watch?v=https:accounts.google.comServiceLogin
4. Существует 4 способа задания функции:
- аналитический (с помощью формул);
- табличный;
- графический
- словесное описание.
